persamaan linear

PERSAMAAN LINIER

1). Persamaan Linier Satu Variabel

          Bentuk umum  : , dimana   dan b = konstanta

Penyelesaian :

Contoh :     1).

                   2).

2). Persamaan Linier 2 Variabel

          Bentuk umum :  dimana : a, b, c  adalah konstanta

3). Persamaan Linier Tiga Variabel

  Bentuk umum :  dimana : a, b, c, d  adalah konstanta. Penyelesaian  persamaan linier dua Variabel dan tiga variable ( persamaan linier simultan )  dilakukan dengan : (1)  Eliminasi,  (2) Substitusi, (3) Interasi dan (4) Determinan.

1.     Cara Eliminasi

Eliminasi berarti meniadakan atau menghilangkan harga – harga unknown.

Contoh :

Tentukan harga – harga x, y  dan z  dalam persamaan linier simultan :

                

Jawab :

Misal       

Eliminasi x

          ; Tanda . adalah operasi kali

      

      

Eliminasi y :

      

Menentukan harga unknown Y:

Untuk harga z = 1 maka persamaan ( P4 ) adalah :

      

        atau

Jika digunakan p5 untuk z = 1 persamaannya adalah :

      

      atau 

Menentukan harga  unknown x :

       Harga x dapat ditentukan dari persamaan ( p1 ), atau ( p2 ), atau ( p3 ), untuk harga z = 1 dan y = -1 dengan persamaan  ( p1 ) menghasilkan :

                

2.     Cara Substitusi

Substitusi berarti mengganti salah satu  unknown  yang mewakili  unknown – unknown lain. Pada suatu persamaan linier tiga variabel terdapat 3 buah unknown  x, y, z maka substitusi dapat dilakukan dengan 6 macam yaitu :

x, y; x,z; y, x; y, z; z, x; dan z, y.

contoh:

Selesaikan  persamaan linier simultan dengan cara substitusi :

      

Jawab

       Misalkan :   (p1)

                          (p2)

                          (p3)

Substitusi x

       Dari persamaan linier (p1) diperoleh harga x dalam bentuk term y dan z sebagai berikut :

      

      

Substitusi harga x tersebut kedalam persamaan ( p2 ) dan ( p3 ) diperoleh :

       P4→ P2 

                

       P4→ P3

                

Substitusi y:

Dari persamaan p5 dapat diketahui harga y dalam term z. substitusi harga y dalam persamaan p6 diperoleh :

       P5→ p6 

                

Jadi harga z = 1

Substitusi kembali :

Substitusi kembali z  dalam p7 pada p5 diperoleh :

P7→ P5  

Substitusi kembali y pada p8 dan z pada p7 ke dalam p4 diperoleh :

       P8→ P7→ P4 

                         

Dari hasil substitusi di atas dapat ditentukan harga – harga penyelesaian persamaan linier simultan adalah :

                

3.     Cara Interasi

Cara interasi adalah cara coba – coba memasukkan harga tertentu ke dalam unknown – unknown  sampai ditemukan harga x, y dan z

4.     Penyelesaian dengan cara determinan

Sebelumnya disusun  koefisien – koefisien  dan konstanta – konstanta pada persamaan linier simultan yang membentuk formasi baris dan kolom. Setiap bilangan yang menempati suatu baris dan kolom disebut elemen.

Contoh :

      

Maka persamaan linier simultan tersebut disusun dalam bentuk kolm dan baris sebagai berikut :

       → baris 1

                → baris 2

         ↓        ↓         ↓            elemen

      Kolom a   kolom b  kolom c

       Dengan cara determinan, harga – harga ( unknown ) dicari dengan menentukan determinanya terlebih dahulu. Cara menyusun determinan x misalkan cukup mengganti bilangan – bilangan pada kolom x dengan kolom konstanta.

a.     cara Cramer

rumus untuk mencari harga – harga dalam determinan linier simultan adalah membagi determinannya dengan determinan. Misalkan mencari harga x adalah dengan membagi determinan x  dengan determinan. Demikian  juga  untuk mencari harga y  maka determinan y dibagi dengan determinan.

1). Untuk persamaan linier simultan dengan dua cara persamaan linier

Kolom x        kolom y           kolom c  

·        Determinan  dibentuk dari elemen-elemen pada kolom x dan y :

  Kx         Ky

Determinan  =

·        Determinan x yaitu x dibentuk dengan mengganti kolom x dengan kolom c  sebagai berikut :

        Kc        Ky

Harga 

·        Determinan y yaitu y dibentuk dengan mengganti kolom y dengan kolom c sebagai berikut :

       Kx       Kc

Harga y =

2). Untuk persamaan linier simultan dengan tiga persamaan linier.

Disusun sebagai berikut :

Kx      Ky    Kz     Kd

Determinan  dibentuk dari elemen – elemen pada kolom x, y dan z dengan menempatkan elemen – elemen dari baris yang atas dan masing – masing dikalikan dengan minornya

Contoh

     Minor dari a1 adalah  yang didapat  dari gambar berikut :

Determinan  adalah sebagaio berikut :

       Kd     Ky     Kz

        .         .         .

Menentukan harga determinan dengan cara ini disebut ekspansi determinan. Selanjutnya harga – harga x, y dan z dirumuskan dengan cara determinan sebagai berikut :

              Kd     Ky     Kz

              Kx      Kd     Kz                      Kx      Ky    Kd

 

b.    Cara Sarrus

Cara Sarrus ini terlebih dahulu disusun elemen-elemen determinan, kemudian ditulis kembali dua kolom yang pertama. Cara Sarrus ini disusun hanya untuk susunan bilangan yang mempunyai tiga baris dan tiga kolom saja.  Harga determinan dengan cara ini dihasilkan melalui operasi perkalian diantara elemen-elemen diagonal. Perkalian elemen diagonal dari atas ke bawah tandanya positif ( + ). Sedangkan perkalian elemen diagonal dari bawah ke atas tandanya negatif ( - ).

 Contoh

      Kx     Ky     Kz    Kx     Ky

=

Untuk mencari harga x  maka determinan  x dibagi dengan determinan . Demikian juga harga y dan harga z. Hanya operasinya menggunakan cara Sarrus.

Contoh soal-Penyelesaian

1.     Tentukan harga x dan y dalam persamaan linier simultan sebagai berikut dengan cara determinan yang menggunakan aturan Cramer.

Jawab:

Susunan kolom x, kolom y dan kolom c adalah :

          Kx     Ky     Kc

          6        -9      -15

          6        4        24

Jadi harga yang memenuhi persamaan linier simultan tersebut adalah  x = 2 dan y = 3.

2.     selsesaikan persamaan linier simultan seperti dibawah ini dengan cara determinan yang menggunakan aturan cramer.

Jawab

Determinan  =

Determinan x = 

= 2.{(-2)(1) - (-5)(-3)} – 3.{(1)(1) – (0)(-3)} + 1.{(1)(-5)-(0)(-2)}

= 2.(-2-15) - 3(1-0) + 1(-5-0)

= 2.-17 – 3.1 + 1.-5 = -34  - 3 – 5

= -42

Determinan

= 2. {(1).(1) – (0)(-3)} – 2.{(!)(1) – (-3)(-3)} + 1.{(1)(0) – (-3)(1)}

= 2.(1-0) – 2.(1-9) + 1(0+3)

= 2.1 + 2.8 + 1.3 = 2 + 16 + 3

= 21

Determinan

= 2.{(9-2)(0) – (-5)(1)} – 3{(1)(0) – (-3)(1)} + 2{(1)(-5) – (-3)(-2)}

= 2(0+5) – 3(0+3) + 2(-5-6)

= 10 – 9 – 22 = -21