soalmatematika

1.       Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potong kedua kurva.

Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x²

2x = 8 – x²

x² + 2x – 8 = 0

( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0

x + 4 = 0         atau        x – 2 = 0

x = –4             atau        x = 2

L =

=

=

=

=

= =

2.       Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x² dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas

Soal diatas kalau disajikan betuk gambarnya kira – kira seperti dibawah ini

Luas 1

Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4         

Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = –x  + 2               

Luas 2

Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4         

Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = x²        

Dari gambar batas antara luas 1 ( merah) dengan luas 2 ( biru ) adalah 1. Ini bisa didapat dari perpotongan antara fungsi y = x² dan y =  –x + 2

x² = –x + 2

x² + x – 2 = 0

( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0

x + 2 = 0                 atau        x – 1 = 0

 x = –2                    atau        x = 1

L1 =

= =  =

= = 2(1) + ½ (1) = 2+– ½ = 2½

L2 = 

=   = ( batas atas 2 diperoleh dari perpotongan y =  4 dan y = x² )

=

=

L = L1 + L2 =

3.       Luas daerah yang dibatasi oleh y = x³ – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas.

L = L1 + L2

L1 = =   

=  =   =  2

L2 =  =   =

=  =   = 

L =

4.       Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x² + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 360⁰ mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume.

Cat : Gambar diatas kemudian diputar 360⁰ terhadap sumbu y

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari :

y = – x² + 4

y = – 2x + 4

Substitusikan nilai y, didapat :

– 2x + 4 + x² – 4 = 0

x² – 2x = 0

x ( x – 2 ) = 0

x = 0  atau x = 2

Untuk nilai y, substitusikan nilai x pada y = – 2x + 4

x = 0               y = – 2(0) + 4 = 4

x = 2               y = – 2(2) + 4 = 0

Karena beda diputar terhadap sumbu y, maka terlebih dahulu rubah fungsi y = f(x) menjadi x = f(y).

y = – x² + 4                                                    y = – 2x + 4

y – 4 = – x²                                                    y – 4 = – 2x

4 – y = x²                                                                                   2 – ½ y = x

x =

V =

=

=

=  =

=

5.       Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x² + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari :

y = x² + 1

y = x + 3

Substitusikan nilai y, didapat :

x² + 1 = x + 3

x² + 1 – x – 3 = 0

x² – x – 2 = 0

( x – 2 ) ( x + 1 ) = 0

x = 2 atau x = – 1 

V =

 =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= =

6.      Integral dari  dx?

Jawab :

Misal x = 3sin t maka dx 3 cos t dan  = 9  t

Sin t =  , t = arc sin  

=∫  dx = ∫ 3cos t dt

=∫ t 3cos t dt

= ∫ t 3cos t dt

= ∫ 3cos t 3cos t dt

= ∫ 9 t dt

= ∫ 9(  +  cos 2t) dt

= 9( t+  sin 2t) + C

= t +  ( 2sin t cos t) + C

 = t +  sin t cos t + C

  =  arc sin  +      + C

  =  arc sin  +  x  + C

7.           ∫ x  dx adalah...

      Jawab

      = misal U = x,du = dx

      dV=  dx

        ∫ dV = ∫   dx

       =  v =  

       = x ∫   dx = ∫ U Dv

       = UV - ∫ V dU

       = x( ) -∫    dx

       =  x   -  x    + C

       =  x ( x-7)  -      + C

8.               

       = Misal u = 3  + 1

       = du = 6xdx

       = x  dx =  du

       = ∫ dx =  ∫  du

       =  du

        =  du

        =  x 2

        =  + 1

        =           dx = +1 ]

=  -

=

9.      ∫  x dx ?

= ∫  x sin x dx

= ∫ ( 1-  x) sin x dx

= ∫ ( sin x – sin x x ) dx

= ∫ sin x dx - ∫ sin x   x dx

= - cos x – ( -    x ) + C

= - cos x +     x + C

10.       ∫  dx adalah...

     = ∫  dx

     = ∫ ) dx

     = ∫  2

     = + 2x  +C